Question

已知函數 ．
（Ⅰ）若函數在區間其中上存在極值，求實數的取值范圍；
（Ⅱ）如果當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：本題主要考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性、極值、最值、不等式等基礎知識，考查函數思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，因為函數在上有極值，所以極值點的橫坐標需落在內，對求導，令和判斷出函數的單調區間，決定出極值點所在位置，得到極值點的橫坐標，讓落在區間內，列出不等式；第二問，將已知條件先轉化為，下面主要任務是求函數的最小值，設出新函數，對它求導，判斷出函數的單調性，確定當時有最小值，即，所以.
試題解析：（Ⅰ）因為，，則，
當時，，當時，.
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以函數在處取得極大值.
因為函數在區間（其中）上存在極值，
所以 解得．
（Ⅱ）不等式即為 記
所以
令，則
，
在上單調遞增，
，從而，
故在上也單調遞增，
所以，所以