Question

設P為橢圓=1(a>b>0)上任一點,F₁、F₂分別為左、右焦點,求|PF₁|·|PF₂|的最大、最小值.

Answer 1

當x₀²=0,即x₀=0時,z_最大=a²;
當x₀=±a,x₀²=a²時,z_最小=a²-·a²=a²-c²=b².

解法一:令z=|PF₁|·|PF₂|=(a+ex₀)(a-ex₀)=a²-e²x₀².
∵-a≤x₀≤a,∴0≤x₀²≤a².
當x₀²=0,即x₀=0時,z_最大=a²;
當x₀=±a,x₀²=a²時,z_最小=a²-·a²=a²-c²=b².
解法二:∵|PF₁|+|PF₂|=2a,∴|PF₁|·|PF₂|≤()²=a²,
當且僅當|PF₁|=|PF₂|時,取“＝”.∴z_最大=a².求z_最小同上.