Question

已知在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E在棱AB上移動．
（Ⅰ）求證：D₁E⊥A₁D；
（Ⅱ）在棱AB上是否存在點E使得AD₁與平面D₁EC成的角為

π

6

？若存在，求出AE的長，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連AD₁，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD₁為D₁E在平面AD₁的射影，利用三垂線定理可得結論；
（Ⅱ）求出A到平面D₁EC的距離，利用等體積，建立方程，即可求得結論．

解答：（Ⅰ）證明：連AD₁，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD₁為D₁E在平面AD₁的射影，
而AD=AA₁=1，則四邊形ADD₁A₁是正方形，∴A₁D⊥AD₁，由三垂線定理得D₁E⊥A₁D； 
（Ⅱ）解：設AE=x，則∵AD₁與平面D₁EC成的角為

π

6

，AD₁=

2

，∴A到平面D₁EC的距離為

2

2

．
在△D₁EC中，D₁E=

2+x2

，EC=

1+(2-x)2

，D₁C=

5

，∴cos∠ED₁C=

2x+1

5 • 2+x2

，
∴sin∠ED₁C=

x2-4x+9

5 • 2+x2

，
∴S△D1EC=

1

2

D₁E•D₁Csin∠ED₁C=

x2-4x+9

2

．
∵VD1-AEC=VA-D1EC，
∴

1

3

•

1

2

x•1•1=

1

3

•

x2-4x+9

2

•

2

2

，
∴x²+4x-9=0，
∴x=

13

-2，
故存在，AE=

13

-2，使得AD₁與平面D₁EC成的角為

π

6

．

點評：本題考查線線垂直，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．