Question

【題目】已知橢圓經過點，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作兩條互相垂直的弦分別與橢圓交于點，求點到直線距離的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意結合解出，后，即可得解；

（2）設，，當直線的斜率存在時，設其方程為，代入橢圓方程得，，由化簡可得，進而可得直線方程為，由直線過定點即可得點到直線距離的最大值為；當直線斜率不存在時，設其方程為，求出n后即可得點到直線的距離；即可得解.

（1）由題意，得，結合，得，，

所以橢圓的方程為；

（2）當直線的斜率存在時，設其方程為，

代入橢圓方程，整理得，

由得，

設，，則，，

因為，所以，所以，

即，

其中，

，

代入整理得，即，

當時，直線過點，不合題意；

所以，此時滿足，

則直線的方程為，直線過定點，

所以當時，

點到直線的最大距離；

當直線的斜率不存在時，設其方程為，由，，

代入可得，

結合可得或（舍去），

當時，點到直線的距離為，

綜上，點到直線的最大距離為.