Question

數列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c（n∈N^*）a、c∈R，c≠0
（1）求證：a≠1時，{a_n-1}是等比數列，并求{a_n}通項公式．
（2）設，，b_n=n（1-a_n）（n∈N^*）求：數列{b_n}的前n項的和S_n．
（3）設、、．記d_n=c_2n-c_2n-1，數列{d_n}的前n項和T_n．證明：（n∈N^*）．

Answer 1

（1）證明：∵a_n+1=ca_n+1-c，∴a_n+1-1=c（a_n-1）
∴a≠1時，{a_n-1}等比數列．
∵a₁-1=a-1，∴，∴
（2）解：由（1）可得
∴
∴S_n=
∴S_n=
兩式相減可得S_n==1-
∴
（3）證明：，

∴
分析：（1）a_n+1=ca_n+1-c，可得a_n+1-1=c（a_n-1），從而可得a≠1時，{a_n-1}是等比數列，即可求{a_n}通項公式；
（2）求出數列{b_n}的通項，利用錯位相減法，可求數列的和；
（3）確定數列{d_n}的通項．利用放縮法求和，即可證得結論．
點評：本題考查等比數列的證明，考查數列的通項與求和，考查不等式的證明，屬于中檔題．