Question

已知函數f（x）=

log5|x-5|，(x≠5) 3 ，(x=5)

，若關于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有五個不等實根x₁，x₂，…，x₅，則f（x₁+x₂+…+x₅）=

1+2lo

g

2 5

．

Answer 1

分析：由函數的解析式可得，函數f（x）的圖象關于直線x=5對稱，再由題意可得，五個不等實根x₁，x₂，…，x₅，也關于直線x=5對稱，故有x₁+x₂+…+x₅=25，
再根據 f（x₁+x₂+…+x₅）=f（25），運算求得結果．

解答：解：∵已知函數f（x）=

log5|x-5|，(x≠5) 3 ，(x=5)

，故有f（5）=3．
根據當x＞5時，f（x）=log₅（x-5），當x＜5時，f（x）=log₅（5-x），
可得函數f（x）的圖象關于直線x=5對稱．
再根據關于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有五個不等實根x₁，x₂，…，x₅，
可得這5個根x₁，x₂，…，x₅ 也關于直線x=5對稱，
∴x₁+x₂+…+x₅ =25，
∴f（x₁+x₂+…+x₅）=f（25）=log₅20=1+log₅4，=1+2log₅2，
故答案為  1+2log₅2．

點評：本題主要考查函數的零點與方程的根的關系，關鍵是根據函數的圖象關于x=5對稱，得出5個根也關于直線x=5對稱，從而求得x₁+x₂+…+x₅ =25，屬于中檔題．