Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為， 上的動點到兩焦點的距離之和為4，當點運動到橢圓的上頂點時，直線恰與以原點為圓心，以橢圓的離心率為半徑的圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）設橢圓的左右頂點分別為，若交直線于兩點.問以為直徑的圓是否過定點？若過定點，請求出該定點坐標；若不過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）， .

【解析】試題分析：（1）由橢圓定義可知， ，由原點到直線的距離求出，得到橢圓的標準方程；（2）設， ，則， ，由，得，求出M,N的坐標，因為，故以為直徑的圓與軸交于兩點，在以為直徑的圓中應用相交弦定理求出，從而以為直徑的圓恒過兩個定點， .

試題解析：（1）由橢圓定義可知， ，

直線，

故，

∴，

故橢圓的標準方程為： .

（2）設，點，則， ，

由，得： ，

直線方程為： ，令，則，故；

直線方程為： ，令，則，故；

因為，故以為直徑的圓與軸交于兩點，設為，

在以為直徑的圓中應用相交弦定理得：

，

因為，所以，

從而以為直徑的圓恒過兩個定點， .