Question

【題目】已知橢圓C：（）的左、右焦點分別為，，點P在橢圓上，，橢圓的離心率.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）A，B是橢圓C上與點P不重合的任意兩點，若的重心是坐標原點O，試證明：的面積為定值，并求出該定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明詳見解析，該定值為.

【解析】

（1）根據待定系數法求出橢圓方程；

（2）設直線的方程為，聯立方程組求出弦長，求出P到的距離，得出三角形的面積關于m的函數，從而得出面積的最大值.

（1）∵，∴，∴，

∵，∴，

∴，

∴橢圓C的標準方程為：；

（2）最多只有1條邊所在直線與x軸垂直，

不妨設所在直線與x軸不垂直，其方程為

（∵的重心是O，∴O不在直線上，）

由得，

設、，則

，

且，，

從而，

設，∵的重心是坐標原點O，

∴，

∴，

，

點在橢圓上，

∴

即，且符合，

點到直線的距離為：

，

的面積，

由即，得

為常數.