Question

【題目】如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其內部)以AB邊所在直線為旋轉軸旋轉120°得到的，G是的中點.

(1)設P是上的一點，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；

(2)當AB＝3，AD＝2時，求二面角E－AG－C的大小.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析: (1)第(1)問,直接證明BE⊥平面ABP得到BE⊥BP,從而求出∠CBP的大小. (2)第（2）問，可以利用幾何法求，也可以利用向量法求解.

試題解析：

(1)

因為AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP.

又BP平面ABP，所以BE⊥BP.又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.

(2)方法一：如圖，取的中點H，連接EH，GH，CH.

因為∠EBC＝120°，所以四邊形BEHC為菱形，

所以AE＝GE＝AC＝GC＝.

取AG的中點M，連接EM，CM，EC，

則EM⊥AG，CM⊥AG，

所以∠EMC為所求二面角的平面角．

又AM＝1，所以EM＝CM＝.

在△BEC中，由于∠EBC＝120°，

由余弦定理得EC2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12，

所以EC＝2，所以△EMC為等邊三角形，

故所求的角為60°.

方法二：

以B為坐標原點，分別以BE，BP，BA所在的直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系B－xyz.

由題意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1， ，3)，C(－1， ，0)，

故＝(2,0，－3)， ＝(1， ，0)， ＝(2,0,3)．

設＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一個法向量，

由可得

取z1＝2，可得平面AEG的一個法向量＝(3，－ ，2)．

設＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一個法向量．

由可得

取z2＝－2，可得平面ACG的一個法向量n＝(3，－ ，－2)．

所以cos〈〉＝＝.

故所求的角為60°.