Question

求當(dāng)函數(shù)y=sin²x+acosx-

1

2

a-

3

2

的最大值為1時(shí)a的值．

Answer 1

分析：先通過變形化為關(guān)于cosx的二次函數(shù)，配方后，根據(jù)函數(shù)式的特點(diǎn)，對(duì)a進(jìn)行分類討論．

解答：解：∵y=1-cos²x+acosx-

1

2

a-

3

2

=-cos²x+acosx-

a

2

-

1

2

，設(shè)cosx=t，∵-1≤cosx≤1，∴-1≤t≤1．
∴y=-t²+at-

a

2

-

1

2

=-(t-

a

2

)2+

a2

4

-

a

2

-

1

2

，-1≤t≤1，函數(shù)y的對(duì)稱軸為t=

a

2

．
（1）當(dāng)

a

2

＜-1，即a＜-2時(shí)，t=-1，y有最大值-

3

2

a-

3

2

．
由已知條件可得-

3

2

a-

3

2

=1，∴a=-

5

3

＞-2（舍去）．
（2）當(dāng)-1≤

a

2

≤1時(shí)，即-2≤a≤2時(shí)，t=

a

2

，y有最大值

a2

4

-

a

2

-

1

2

．
由已知條件可得

a2

4

-

a

2

-

1

2

=1，解得a=1-

7

或a=1+

7

（舍去）．
（3）當(dāng)

a

2

＞1，即a＞2時(shí)，則當(dāng)t=1，y有最大值

a

2

-

3

2

．
由已知條件可得

a

2

-

3

2

=1，∴a=5．
綜上可得，a=1-

7

或a=5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．