Question

已知函數（為實常數）．
（1）若函數在區間上是增函數，試用函數單調性的定義求實數的取值范圍；
（2）設，若不等式在有解，求的取值范圍．

Answer 1

(1);(2)當時，；當時，．

試題分析：（1）任取x₁、x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，利用函數單調性的定義可知f（x₂）-f（x₁）＞0在區間[2，+∞）上恒成立，從而求出實數m的取值范圍；（2）將不等式f（x）≤kx中的k分離出來，然后利用二次函數的性質研究不等式另一側函數在[，1]上的最小值，從而求出k的取值范圍．
（1）由題意，任取、，且，
則，    2分
因為，，所以，即，             4分
由，得，所以．所以，的取值范圍是．  6分
（2）由，得，
因為，所以，                                    7分
令，則，所以，令，，
于是，要使原不等式在有解，當且僅當（）．    9分
因為，所以圖像開口向下，對稱軸為直線，
因為，故當，即時，；
當，即時，．                  13分
綜上，當時，；
當時，．            14分．