Question

【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為，（為參數，為直線傾斜角）.以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程是.

（1）當時，直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（2）已知點的直角坐標為，直線與曲線交于兩點，當面積最大時，求直線的普通方程.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)的普通方程為.的直角坐標方程為.(Ⅱ).

【解析】

試題

（Ⅰ）當時，消去參數可得直線的普通方程為.極坐標化為直角坐標可得曲線的直角坐標方程為.

（Ⅱ）由題意可得.滿足題意時，△ABC為等腰直角三角形，則點到直線的距離為，結合點到直線距離公式可得直線的斜率，直線的普通方程為.

試題解析：

（Ⅰ）當時，直線的參數方程為，

消去得直線的普通方程為.

曲線的極坐標方程是，兩邊乘以為，由得：

，

所以曲線的直角坐標方程為.

（Ⅱ）曲線是以為圓心，2為半徑的圓，

.

當時面積最大.此時點到直線的距離為，所以，解得：，

所以直線的普通方程為.