Question

【題目】已知函數f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的導函數f′（x）為偶函數，且曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線的斜率為4﹣c．
（1）確定a，b的值；
（2）若c=3，判斷f（x）的單調性；
（3）若f（x）有極值，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）

∴f′（x）=2ae2x+2be﹣2x﹣c，

由f′（x）為偶函數，可得2（a﹣b）（e2x﹣e﹣2x）=0，

即a=b，

又∵曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線的斜率為4﹣c，

即f′（0）=2a+2b﹣c=4﹣c，

故a=b=1；

（2）解：當c=3時，f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣3≥2 =1＞0恒成立，

故f（x）在定義域R為均增函數；

（3）解：由（1）得f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣c，

而2e2x+2e﹣2x≥2 =4，當且僅當x=0時取等號，

當c≤4時，f′（x）≥0恒成立，故f（x）無極值；

當c＞4時，令t=e2x，方程2t+ ﹣c=0的兩根均為正，

即f′（x）=0有兩個根x1，x2，

當x∈（x1，x2）時，f′（x）＜0，當x∈（﹣∞，x1）∪（x2，+∞）時，f′（x）＞0，

故當x=x1，或x=x2時，f（x）有極值，

綜上，若f（x）有極值，c的取值范圍為（4，+∞）

【解析】（1）根據函數f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的導函數f′（x）為偶函數，且曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線的斜率為4﹣c，構造關于a，b的方程，可得a，b的值；（2）將c=3代入，利用基本不等式可得f′（x）≥0恒成立，進而可得f（x）在定義域R為均增函數；（3）結合基本不等式，分c≤4時和c＞4時兩種情況討論f（x）極值的存在性，最后綜合討論結果，可得答案