Question

已知函數f（x）=（x+2）ln（x+1）-ax²-x（a∈R）,g（x）=ln（x+1）.
(1)若a=0，F(x)=f(x)-g(x),求函數F（x）的極值點及相應的極值.
(2)若對于任意x₂>0，存在x₁滿足x₁<x₂且g(x₁)=f(x₂)成立，求a的取值范圍.

Answer 1

(1)只有一個極小值點，極小值為0. (2)

試題分析：(1)首先求出F（x）的表達式，然后求導，根據單數的性質，求出原函數的單調區間，即可求出函數F（x）的極值點及相應的極值.
(2) 設，依題意即求在上存在零點時的取值范圍.即只需要在上恒成立.即,在上恒成立.然后分，，，，根據導數的性質分別求使在上成立的a的取值范圍，最后求并集.
試題解析：(1),
,
為減函數;
為增函數,
所以只有一個極小值點，極小值為0.        4分
(2) 設
依題意即求在上存在零點時的取值范圍.
又當時，，且在定義域內單調遞增，
所以只需要在上恒成立.
即，在上恒成立.
即,在上恒成立.    7分
若，顯然不成立,因為由第一問知在為增函數，
故
,即在恒成立,
不妨設，
，
,       9分
若,則，若，,所以為增函數，（不合題意）,
若，若，,為增函數，（不合題意）,
若，若,，為減函數,（符合題意）,
綜上所述,若時,恒成立,
則.           12分