Question

【題目】已知為拋物線： 的焦點，過點作兩條互相垂直的直線，直線交于不同的兩點，直線交于不同的兩點，記直線的斜率為.

(1)求的取值范圍；

(2)設線段的中點分別為點，求證： 為鈍角.

Answer 1

【答案】（1）{k|－＜k＜0或k＞2}（2）見解析

【解析】試題分析：

（1）由題意可設直線m的方程為y＝k(x－2)，將其代入拋物線方程后可得到一二次方程，根據判別式大于零可得k＜0，或k＞2．同理設直線n的方程為y＝t(x－2)，可得t＜0，或t＞2．根據以kt＝－1，可解得k＞0或－＜k＜0，從而可得所求范圍．（2）由（1）可得點M(2k，2k2－2k)，N(2t，2t2－2t)，根據F(0，1)可得到的坐標，通過證明且不共線可得為鈍角．

試題解析：

（1）由題可知k≠0，設直線m的方程為y＝k(x－2)，

由消去y整理得x2－4kx＋8k＝0，①

因為直線直線m交于不同的兩點，

所以Δ＝16k2－32k＞0，

解得k＜0，或k＞2．

設直線n的方程為y＝t(x－2)，

由消去y整理得x2－4tx＋8t＝0，

同理由Δ＞0可得t＜0，或t＞2．

因為m⊥n，

所以kt＝－1，

得－，或－，

解得k＞0或－＜k＜0．

故k的取值范圍為{k|－＜k＜0或k＞2}．

（Ⅱ）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．

由①得x1＋x2＝4k，

所以，

故，

所以點M(2k，2k2－2k)．

同理可得N(2t，2t2－2t)，

又F(0，1)，

所以＝(2k，2k2－2k－1)， ＝(2t，2t2－2t－1)，

＝4kt＋(2k2－2k－1)(2t2－2t－1)，

將kt＝－1代入上式可得，

＝－2k2－2t2＋6(k＋t)－3＝－2(k＋t)2＋6(k＋t)－7＝－2(k＋t－)2－＜0

因為2k(2t2－2t－1)－2t(2k2－2k－1)＝2(＋k)≠0，

所以與不共線．

所以可得∠MFN為鈍角．