Question

【題目】已知定義在R上的函數對任意實數都滿足，且當時，．

（1）判斷函數的奇偶性，并證明；

（2）判斷函數的單調性，并證明；

（3）解不等式．

Answer 1

【答案】（1）為奇函數．證明見解析（2）在R上為增函數．證明見解析（3）當時不等式的解集是．當時不等式的解集是．當時不等式的解集是．

【解析】

（1）用賦值法求出，然后令可得奇偶性；

（2）利用單調性的定義證明單調性；

（3）由奇函數性質化不等式為，由單調性轉化為二次不等式，再分類得出解集．

（1）解：為奇函數．

證明：因為，令，

得對任意的都成立，所以．

又令，則，

所以，所以是奇函數．

（2）解：在R上為增函數．

證明：，且使由是奇函數，

得．

因為當時，，

而，所以，

所以，所以在R上為增函數．

（3）解：由，得．

因為是奇函數，所以．

又在R上為增函數，所以．

即，所以．

所以當時不等式的解集是．

當時不等式的解集是．

當時不等式的解集是．