Question

【題目】已知函數(shù)=，；

(1)討論的單調(diào)性;

(2)若不等式≥在(0,1)上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)后，按a≤0，0＜a＜，a=，a＞分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求單調(diào)區(qū)間（2）由（1）的單調(diào)性分類求f（x）的最小值，用最小值使不等式成立代替恒成立．

（1）∵f（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣2lnx，x＞0，

∴f′（x）==，

①當(dāng)a≥0時，令f′（x）＜0，得0＜x＜2；令f′（x）＞0，得x＞2；

②當(dāng)a＜0時，令f′（x）=0，得x=﹣或x=2；

（Ⅰ）當(dāng)﹣＞2，即﹣時，令f′（x）＜0，得0＜x＜2或x＞﹣；令f′（x）＞0，得 2＜x＜﹣；

（Ⅱ）當(dāng)﹣=2時，即a=﹣時，則f′（x）＜0恒成立；

（Ⅲ）當(dāng)﹣＜2時，即a＜﹣時，令f′（x）＜0，得0＜x＜﹣或x＞2； 令f′（x）＞0，得﹣＜x＜2；

綜上所述：當(dāng)a≥0時，f（x）在（0，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增；

當(dāng)﹣時，f（x）在（0，2）和（﹣，+∞）上遞減，在（2，﹣）上遞增；

當(dāng)a=﹣時，f（x）在（0，+∞）上遞減；

當(dāng)a＜﹣時，f（x）在（0，﹣）和（2，+∞）上遞減，在（﹣，2）上遞增．

（2）由（1）得①當(dāng)a≥﹣時，f（x）在（0，1）上遞減，

∴f（1）=1﹣a≥，∴﹣；

②當(dāng)a＜﹣時，

（Ⅰ）當(dāng)﹣≤1，即a≤﹣1時，f（x）在（0，﹣）上遞減，在（﹣，1）上遞增，

∴f（﹣）=2﹣+2ln（﹣a）≥2﹣≥，∴a≤﹣1符合題意；

（Ⅱ）當(dāng)﹣＞1，即﹣1＜a＜﹣時，f（x）在（0，1）上遞增，

∴f（1）=1﹣a＞，∴﹣1＜a＜﹣符合題意；

綜上，實數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，﹣]．