Question

設△ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=

1

4

（Ⅰ）求△ABC的周長；
（Ⅱ）求cos（A-C）的值．

Answer 1

分析：（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，從而求出三角形ABC的周長；
（II）根據cosC的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sinC的值，然后由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根據大邊對大角，由a小于c得到A小于C，即A為銳角，則根據sinA的值利用同角三角函數間的基本關系求出cosA的值，然后利用兩角差的余弦函數公式化簡所求的式子，把各自的值代入即可求出值．

解答：解：（I）∵c²=a²+b²-2abcosC=1+4-4×

1

4

=4，
∴c=2，
∴△ABC的周長為a+b+c=1+2+2=5．
（II）∵cosC=

1

4

，∴sinC=

1-cos2C

=

1-( 1 4 )2

=

15

4

．
∴sinA=

asinC

c

=

15 4

2

=

15

8

．
∵a＜c，∴A＜C，故A為銳角．則cosA=

1-( 15 8 )2

=

7

8

，
∴cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC=

7

8

×

1

4

+

15

8

×

15

4

=

11

16

．

點評：本題主要考查三角函數的基本公式和解斜三角形的基礎知識，同時考查學生的基本運算能力，是一道基礎題．