Question

【題目】已知△ABC的三邊長都是有理數.

(1)求證：cos A是有理數；

(2)求證：對任意正整數n，cos nA是有理數.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）設出三邊為根據三者為有理數可推斷出 是有理數，進而根據有理數集對于除法的具有封閉性推斷出 也為有理數，根據余弦定理可知，進而可知是有理數．
（2）先證當 時，根據（1）中的結論可知是有理數，當n=2時，根據余弦的二倍角推斷出也是有理數，再假設時，結論成立，進而可知均是有理數，用余弦的兩角和公式分別求得，根據均是有理數推斷出，即 時成立．最后綜合原式得證．

試題解析：(1)設三邊長分別為a，b，c，cos A＝，

∵a，b，c是有理數，

b2＋c2－a2是有理數，分母2bc為正有理數，又有理數集對于除法具有封閉性，

∴必為有理數，∴cos A是有理數.

(2)①當n＝1時，顯然cos A是有理數；

當n＝2時，∵cos 2A＝2cos2A－1，

因為cos A是有理數，∴cos 2A也是有理數；

②假設當n≤k(k≥2)時，結論成立，即cos kA，cos(k－1)A均是有理數.

當n＝k＋1時，cos(k＋1)A＝cos kAcos A－sin kAsin A

＝cos kAcos A－ [cos(kA－A)－cos(kA＋A)]

＝cos kAcos A－cos(k－1)A＋cos(k＋1)A

解得：cos(k＋1)A＝2cos kAcos A－cos(k－1)A

∵cos A，cos kA，cos(k－1)A均是有理數，

∴2cos kAcos A－cos(k－1)A是有理數，

∴cos(k＋1)A是有理數.即當n＝k＋1時，結論成立.

綜上所述，對于任意正整數n，cos nA是有理數.