Question

已知函數f(x)=

x

x-1

．
（Ⅰ）證明：對于定義域中任意的x均有f（1+x）+f（1-x）=2；
（Ⅱ）用函數單調性的定義證明函數f（x）在（1，+∞）上是減函數．

Answer 1

分析：（1）將f（1+x）和f（1-x）代入進行化簡；
（2）要求用定義證明，所以按步驟：取值-作差-化簡-判號-結論證明即可．

解答：證明：（Ⅰ）f(1+x)+f(1-x)=

1+x

1+x-1

+

1-x

1-x-1

=

1+x

x

-

1-x

x

=2，
即對于定義域中任意的x均有f（1+x）+f（1-x）=2．
（Ⅱ）設x₁，x₂是（1，+∞）上的兩個任意實數，且x₁＜x₂，
f(x2)-f(x1)=

x2

x2-1

-

x1

x1-1

=

x2(x1-1)-x1(x2-1)

(x1-1)(x2-1)

=

x1-x2

(x1-1)(x2-1)

．
因為1＜x₁＜x₂，所以x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₁-x₂＜0，
所以f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
所以f（x）在（0，+∞）上是減函數．

點評：本題考察函數的性質，屬基礎題，題目比較常規，所以按常規思路解決就很好．