Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，點的極坐標，直線經過點，且傾斜角為.

（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的標準參數方程；

（2）直線與曲線交于兩點，直線的參數方程為（t為參數），直線與曲線交于兩點，求證:.

Answer 1

【答案】（1），（t為參數）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用消參得到曲線的直角坐標方程，求點的直角坐標，再直接寫成直線的標準參數方程；（2）首先將直線的參數方程和曲線聯立，利用參數的幾何意義可知,同理可得，利用根與系數的關系證明.

（1）由（為參數）消去參數得

由得點的直角坐標為

∴直線的標準參數方程為（t為參數）

（2）將直線的標準參數方程（t為參數）代入得

化簡得

設方程兩根為，則

由直線參數方程中的幾何意義得

同理將的參數方程代入的參數方程可得