Question

（本小題12分）
已知橢圓的長軸長為，離心率為，分別為其左右焦點．一動圓過點，且與直線相切．
（Ⅰ）（ⅰ）求橢圓的方程； （ⅱ）求動圓圓心軌跡的方程；
（Ⅱ） 在曲線上有兩點M、N，橢圓C上有兩點P、Q，滿足與共線，與共線，且，求四邊形面積的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）橢圓方程,動圓圓心軌跡方程為
（Ⅱ）=＞8, 所以四邊形PMQN面積的最小值為8

解：（Ⅰ）（ⅰ）由已知可得，
則所求橢圓方程.　　　　　　　　　　--------3分
（ⅱ）由已知可得動圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線的焦點為，準線方程為，則動圓圓心軌跡方程為.     --------6分
（Ⅱ）當直線MN的斜率不存在時，，
此時PQ的長即為橢圓長軸長，
從而                            ---8分
設直線MN的斜率為k，則k≠0，直線MN的方程為：
直線PQ的方程為
設
由，消去可得
由拋物線定義可知：
           ---10分
由消去得，
從而                          ---12分
∴
令，
∵則
則
=
所以=＞8                                            ----14分
所以四邊形PMQN面積的最小值為8                                      ----15分