Question

【題目】已知直線l的參數方程為 (t為參數)，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝4cos θ，直線l與圓C交于A，B兩點．

(1)求圓C的直角坐標方程及弦AB的長；

(2)動點P在圓C上(不與A，B重合)，試求△ABP的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）(x－2)2＋y2＝4；；（2）2＋.

【解析】

（1）圓C的極坐標方程化為直角坐標方程，直線l的參數方程代入圓C的的直角坐標方程，利用直線參數方程的幾何意義，即可求解；

（2）要求△ABP的面積的最大值，只需求出點P到直線l距離的最大值，將點P坐標設為圓方程的參數形式，利用點到直線的距離公式以及三角函數的有界性，即可求解.

(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x2＋y2－4x＝0，

所以圓C的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4.

設A，B對應的參數分別為t1，t2.

將直線l的參數方程代入圓C：

(x－2)2＋y2＝4，并整理得t2＋t＝0，

解得t1＝0，t2＝－.

所以直線l被圓C截得的弦AB的長為|t1－t2|＝.

(2)由題意得，直線l的普通方程為x－y－4＝0.

圓C的參數方程為 (θ為參數)，

可設圓C上的動點P(2＋2cos θ，2sin θ)，

則點P到直線l的距離

d＝，

當＝－1時，d取得最大值，且d的最大值為2＋.

所以S△ABP＝××(2＋)＝2＋，

即△ABP的面積的最大值為2＋.