Question

【題目】設x，y，z為非零實數，滿足xy+yz+zx=1，證明：.

Answer 1

【答案】不等式的證明一般可以考慮運用作差法或者是利用分析法來證明。

【解析】

試題為使所證式有意義，三數中至多有一個為0；據對稱性，不妨設，則；

、當時，條件式成為，，，而

，

只要證，，即，也即，此為顯然；取等號當且僅當．

、再證，對所有滿足的非負實數，皆有

．顯然，三數中至多有一個為0，據對稱性，

仍設，則，令，為銳角，以為內角，構作，則 ，于是，且由知，；于是，即是一個非鈍角三角形．

下面采用調整法，對于任一個以為最大角的非鈍角三角形，固定最大角，將調整為以為頂角的等腰，其中，且設，記，據知，

．今證明，．即

……①．

即要證……②

先證……③，即證，

即，此即，也即

，即，此為顯然．

由于在中，，則；而在中，

，因此②式成為

……④，

只要證，……⑤，即證，注意③式以及

，只要證，即，也即…⑥

由于最大角滿足：，而，則，所以

，故⑥成立，因此⑤得證，由③及⑤得④成立，從而①成立，即，因此本題得證．