Question

【題目】已知數列{an}滿足an+2﹣2an+1+an=0（n∈N*），a2=4，其前7項和為42，設數列{bn}是等比數列，數列{bn}的前n項和為Sn滿足b1=a1﹣1，S30﹣（310+1）S20+310S10=0．
（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（2）令cn=1+log3 ，dn= + ，求證：數列{dn}的前n項和Tn≥ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵數列{an}滿足an+2﹣2an+1+an=0（a∈N*），∴數列{an}是等差數列，設公差為d．

∵a2=4，其前7項和為42，∴a1+d=4，7a1+ d=42，

解得a1=3，d=1．∴an=3+（n﹣1）=n+2．

設等比數列{bn}的公比為q，b1=a1﹣1=2，

S30﹣（310+1）S20+310S10=0．

∴ =310=q10，解得q=3．

∴bn=2×3n﹣1

（2）證明：cn=1+log3 =n，

dn= + = =2+2 ，

∴數列{dn}的前n項和Tn=2n+2 + +…+

=2n+3﹣2 ，

可得：數列{Tn}是單調遞增數列，∴Tn≥T1=5﹣2× =

【解析】（1）由數列{an}滿足an+2﹣2an+1+an=0（a∈N*），可得數列{an}是等差數列，利用等差數列的通項公式與求和公式即可得出an ． 設等比數列{bn}的公比為q，b1=a1﹣1=2，S30﹣（310+1）S20+310S10=0．可得 =310=q10 ， 解得q，利用等比數列的通項公式即可得出．（2）cn=n，dn= =2+2 ，利用“裂項求和”方法與數列的單調性即可得出．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．