Question

【題目】如圖，已知雙曲線C： ﹣y2=1（a＞0）的右焦點為F，點A，B分別在C的兩條漸近線AF⊥x軸，AB⊥OB，BF∥OA（O為坐標原點）．

（1）求雙曲線C的方程；
（2）過C上一點P（x0 ， y0）（y0≠0）的直線l： ﹣y0y=1與直線AF相交于點M，與直線x= 相交于點N．證明：當點P在C上移動時， 恒為定值，并求此定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意知，A（c， ），設B（t，﹣ ），

∵AB⊥OB，BF∥OA，∴ =﹣1， = ，

整理得：t= ，a= ，

∴雙曲線C的方程為 ﹣y2=1

（2）證明：由（1）知A（2， ），l的方程為： ﹣y0y=1，

又F（2，0），直線l： ﹣y0y=1與直線AF相交于點M，與直線x= 相交于點N．

于是可得M（2， ），N（ ， ），

∴ = = = = =

【解析】（1）依題意知，A（c， ），設B（t，﹣ ），利用AB⊥OB，BF∥OA，可求得a= ，從而可得雙曲線C的方程；（2）易求A（2， ），l的方程為： ﹣y0y=1，直線l： ﹣y0y=1與直線AF相交于點M，與直線x= 相交于點N，可求得M（2， ），N（ ， ），于是化簡 = 可得其值為 ，于是原結論得證．