Question

【題目】已知點(diǎn)P(1,3)，Q(1,2).設(shè)過點(diǎn)P的動(dòng)直線與拋物線y=x2交于A，B兩點(diǎn)，直線AQ，BQ與該拋物線的另一交點(diǎn)分別為C，D.記直線AB，CD的斜率分別為k1，k2.

（1）當(dāng)時(shí)，求弦AB的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)時(shí)，是否為定值？若是，求出該定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，.

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，容易知點(diǎn)的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)之間的距離公式即可得弦長(zhǎng)；

（2）設(shè)出直線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理，求得坐標(biāo)與斜率之間的關(guān)系；設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)三點(diǎn)共線，找到坐標(biāo)之間的關(guān)系，類似地得到坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可表示出，再代值即可求證.

（1）當(dāng)時(shí)，直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為與

故弦的長(zhǎng)為；

（2）由題設(shè)得直線，

聯(lián)立方程組，消去得

于是，

又設(shè)，

則

由三點(diǎn)共線得

即，

同理

所以，當(dāng)時(shí)，

故當(dāng)時(shí)，為定值