Question

（2011•渭南三模）在三棱錐A-BCD中，BD=BC=1，BD⊥BC，DE⊥AB，AD=2，AD⊥平面BCD．
（Ⅰ）求證：DE⊥平面ABC；
（Ⅱ）求平面BAC與平面DAC夾角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明DE⊥平面ABC，由于DE⊥AB，只需證明DE⊥BC，利用AD⊥平面BCD，BD⊥BC，可以證明BC⊥平面ABD，從而問題得證；
（Ⅱ）過點D作DF⊥AC，連接EF，根據DE⊥平面ABC，可知∠DFE為平面BAC與平面DAC夾角，分別計算出EF，DF的長，再利用余弦函數即可求得．

解答：（Ⅰ）證明：∵AD⊥平面BCD，BC?平面BCD
∴AD⊥BC
∵BD⊥BC，BD∩AD=D
∴BC⊥平面ABD
∵DE?平面ABD
∴DE⊥BC
∵DE⊥AB，AB∩BC=B
∴DE⊥平面ABC；
（Ⅱ）過點D作DF⊥AC，連接EF，則

∵DE⊥平面ABC，
∴EF⊥AC
∴∠DFE為平面BAC與平面DAC夾角
在直角△ADC中，AD=2，DC=

2

，∴AC=

6

，∵AD×DC=AC×DF，∴DF=

2 3

3

在直角△ADC中，AD=2，BD=1，∴AB=

5

，∵AD×DB=AB×DE，∴DE=

2 5

5

∴EF=

8 15

∴cos∠DFE=

EF

DF

=

10

5

點評：本題以三棱錐為載體，考查線面垂直，解題的關鍵是正確理解與運用線面垂直的判定與性質，求面面角的關鍵是正確作出面面角