Question

已知a，b是正實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=-

1

3

x³+ax²+bx在x∈[-1，2]上單調(diào)遞增，則a+b的取值范圍為（　　）

• A．(0，

  5

  2

  ]
• B．[

  5

  2

  ，+∞)
• C．（0，1）
• D．（1，+∞）

Answer 1

分析：由題意可得f′（x）=-x² +2ax+b≥0在區(qū)間[1，2]上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得f′（-1）≥0，且 f′（2）≥0，化簡(jiǎn)可得a+b的取值范圍．

解答：解：∵a，b是正實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=-

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x³+ax²+bx在x∈[-1，2]上單調(diào)遞增，∴f′（x）=-x²+2ax+b，
且f′（x）=-x² +2ax+b≥0在區(qū)間[1，2]上恒成立．
由于二次函數(shù)f′（x）=-x² +2ax+b的圖象是拋物線，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為 x=a，
故有f′（-1）≥0，且 f′（2）≥0，即

-1-2a+b≥0 -4+4a+b≥0

．
化簡(jiǎn)可得 2a+2b≥5，a+b≥

5

2

，故a+b的取值范圍為[

5

2

，+∞)，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題．