Question

【題目】如圖，以坐標原點O為圓心的單位圓與x軸正半軸相交于點A，點B、P在單位圓上，且B（﹣ ， ），∠AOB=α．
（1）求 的值；
（2）設∠AOP=θ（ ≤θ≤ ）， = + ，四邊形OAQP的面積為S，f（θ）=（ ﹣ ）2+2S2﹣ ，求f（θ）的最值及此時θ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，tanα═﹣2，

∴ = =﹣

（2）解：由已知點P的坐標為P（cosθ，sinθ），

又 = + ，| =|| |，

∴四邊形OAQP為菱形，

∴S=2S△OAP=sinθ，

∵A（1，0），P（cosθ，sinθ），

∴ =（1+cosθ，sinθ），

∴ =1+cosθ，

∴f（θ）=（cosθ+ ）2+2sin2θ﹣ =﹣（cosθ﹣ ）2+2

∵﹣ ≤cosθ≤ ，

∴當cosθ= ，即θ= 時，f（θ）max=2；

當cosθ=﹣ ，即θ= 時，f（θ）min=1

【解析】（1）依題意，可求得tanα=﹣2，將 中的“弦”化“切”即可求得其值；（2）利用向量的數量積的坐標運算可求得f（θ）=（cosθ+ ）2+2sin2θ﹣ =﹣（cosθ﹣ ）2+2，利用﹣ ≤cosθ≤ ，即可求得f（θ）的最值及此時θ的值．