Question

（本小題滿分12分）
如圖，在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=2，E為棱AA₁上一點，且平面BDE。

  （I）求直線BD₁與平面BDE所成角的正弦值；
（II）求二面角C—BE—D的余弦值。

Answer 1

解法一：
（Ⅰ）∵C₁E⊥平面BDE，
在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB＝1，AA₁＝2，
∴BC₁＝，A₁C₁＝．
設(shè)AE＝x，則BE＝，C₁E＝，
∵BC＝BE²＋C₁E²，∴5＝1＋x²＋2＋(2－x)²，解得x＝1．……………………3分
連結(jié)D₁E，由DE＝EB＝BD＝，得
S_△BDE＝DE²＝，S△DD₁E＝DD₁·AD＝1，
設(shè)點D₁到平面BDE的距離為h，則由VD₁—BDE＝VB—DD₁E，
得·h＝·1·1，h＝．
設(shè)直線BD₁與平面BDE所成的角為θ，
因BD₁＝，則sinθ＝＝．………………………………………………6分
（Ⅱ）分別取BE、CE的中點M、N，則MN∥BC，且MN＝AB＝．
∵BC⊥平面ABB₁A₁，BEÌ平面ABB₁A₁，∴BC⊥BE，∴MN⊥BE．
∵BE＝BD＝DE＝，∴DM⊥BE，且DM＝，
∴∠DMN為二面角C-BE-D的平面角．…………………………………………9分
又DN＝EC＝，
∴cos∠DMN＝＝．…………………………………………12分
               
解法二：
（Ⅰ）建立如圖所示的坐標(biāo)系D—xyz，
其中D(0，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D₁(0，0，2)，C₁(0，1，2)．設(shè)E(1，0，a)，則
＝(－1，1，2－a)，＝(1，1，0)，＝(1，0，a)，
∵C₁E⊥平面BDE，∴⊥，
∴·＝－1＋(2－a)a＝0，解得a＝1．……………………………………3分
∴＝(－1，1，1)．
設(shè)直線BD₁與平面BDE所成的角為θ，
因＝(1，1，－2)，則sinθ＝|\o(D1B,\s\up5(→EC1,\s\up5(→＝．……………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），＝(－1，1，1)為面BDE的法向量，
設(shè)n＝(x，y，z)為面CBE的法向量，
∵＝(1，0，0)，＝(0，－1，1)，
∴n·＝0，n·＝0，
∴x＝0，－y＋z＝0，取n＝(0，1，1)，…………………………………………9分
∴cosá，nñ＝\o(EC1,\s\up5(→________＝，
所以二面角C-BE-D的余弦值為．……………………………………………12分

略