Question

【題目】設fk（n）為關于n的k（k∈N）次多項式．數列{an}的首項a1=1，前n項和為Sn ． 對于任意的正整數n，an+Sn=fk（n）都成立． （Ⅰ）若k=0，求證：數列{an}是等比數列；
（Ⅱ）試確定所有的自然數k，使得數列{an}能成等差數列．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：若k=0，則fk（n）即f0（n）為常數， 不妨設f0（n）=c（c為常數）．
因為an+Sn=fk（n）恒成立，所以a1+S1=c，c=2a1=2．
而且當n≥2時，
an+Sn=2，①
an﹣1+Sn﹣1=2，②
①﹣②得 2an﹣an﹣1=0（n∈N，n≥2）．
若an=0，則an﹣1=0，…，a1=0，與已知矛盾，所以an≠0（n∈N*）．
故數列{an}是首項為1，公比為 的等比數列．
（Ⅱ）解：（1）若k=0，由（Ⅰ）知，不符題意，舍去．
⑵若k=1，設f1（n）=bn+c（b，c為常數），
當n≥2時，an+Sn=bn+c，③
an﹣1+Sn﹣1=b（n﹣1）+c，④
③﹣④得 2an﹣an﹣1=b（n∈N，n≥2）．
要使數列{an}是公差為d（d為常數）的等差數列，
必須有an=b﹣d（常數），
而a1=1，故{an}只能是常數數列，通項公式為an=1（n∈N*），
故當k=1時，數列{an}能成等差數列，其通項公式為an=1（n∈N*），
此時f1（n）=n+1．
⑶若k=2，設f2（n）=pn2+qn+t（a≠0，a，b，c是常數），
當n≥2時，
an+Sn=pn2+qn+t，⑤
an﹣1+Sn﹣1=p（n﹣1）2+q（n﹣1）+t，⑥
⑤﹣⑥得 2an﹣an﹣1=2pn+q﹣p（n∈N，n≥2），
要使數列{an}是公差為d（d為常數）的等差數列，
必須有an=2pn+q﹣p﹣d，且d=2p，
考慮到a1=1，所以an=1+（n﹣1）2p=2pn﹣2p+1（n∈N*）．
故當k=2時，數列{an}能成等差數列，
其通項公式為an=2pn﹣2p+1（n∈N*），
此時f2（n）=an2+（a+1）n+1﹣2a（a為非零常數）．
⑷當k≥3時，若數列{an}能成等差數列，根據等差數列通項公式可知Sn是關于n的二次型函數，
則an+Sn的表達式中n的最高次數為2，
故數列{an}不能成等差數列．
綜上得，當且僅當k=1或2時，數列{an}能成等差數列
【解析】（Ⅰ）若k=0，不妨設f0（n）=c（c為常數）．即an+Sn=c，結合數列中an與 Sn關系 求出數列{an}的通項公式后再證明．（Ⅱ）由特殊到一般，實質上是由已知an+Sn=fk（n） 考查數列通項公式求解，以及等差數列的判定．
【考點精析】本題主要考查了等差關系的確定和等比關系的確定的相關知識點，需要掌握如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列；等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷才能正確解答此題．