Question

【題目】已知橢圓C： 的離心率為，右焦點為F，上頂點為A，且△AOF的面積為 (O為坐標原點).

(1)求橢圓C的方程；

(2)設P是橢圓C上的一點，過P的直線與以橢圓的短軸為直徑的圓切于第一象限內的一點M，證明：|PF|＋|PM|為定值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據橢圓的幾何性質得到a＝c，bc＝1，解得方程；（2）設橢圓上一點為.P(cos θ，sin θ)，用點點距離表示|PF|＋|PM|，最終求得定值。

解析：

(1)解　由題意可知：橢圓的離心率e＝，則a＝c.

由△AOF的面積為S＝×b×c＝，則bc＝1，

由a2＝b2＋c2，解得a＝，b＝c＝1.

∴橢圓的標準方程為；.

(2)證明　由(1)知：F(1，0)，以橢圓的短軸為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1，

設P(cos θ，sin θ)，且cos θ>0，

則|PF|＝ ＝

由M是圓x2＋y2＝1的切點，則OM⊥PM，且|OM|＝1，

則|PM|＝ ＝cos θ，

∴|PF|＋|PM|＝－cos θ＋cos θ＝，

∴|PF|＋|PM|為定值.