Question

【題目】已知函數f（x）=x2+ax+b﹣a（a，b∈R）．
（1）若關于x的不等式f（x）＞0的解集為（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），求實數a，b的值；
（2）設a=2，若不等式f（x）＞b2﹣3b對任意實數x都成立，求實數b的取值范圍；
（3）設b=3，解關于x的不等式組 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為不等式f（x）=x2+ax+b﹣a＞0的解集為（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），

所以由題意得﹣1，3為函數x2+ax+b﹣a=0的兩個根，

所以 ，解得a=﹣2，b=﹣5

（2）解：當a=2時，x2+2x+b﹣2＞b2﹣3b恒成立，即x2+2x﹣2＞b2﹣4b恒成立．

因為x2+2x﹣2=（x+1）2﹣3≥﹣3，所以b2﹣4b＜﹣3，

解之得1＜b＜3，所以實數b的取值范圍為1＜b＜3

（3）當b=3時，f（x）=x2+ax+3﹣a，f（x）的圖象的對稱軸為 ．

（ⅰ）當△＜0，即﹣6＜a＜2時，由 ，得x＞1，

（ⅱ）當△=0，即a=2或﹣6時

①當a=2時，由 ，得 ，所以x＞1，

②當a=﹣6時，由 ，得 ，所以1＜x＜3或x＞3，

（ⅲ）當△＞0，即a＜﹣6或a＞2時，方程f（x）=0的兩個根為 ， ，

①當a＜﹣6時，由 知1＜x1＜x2，所以 的解為1＜x＜x1或x＞x2，

②當a＞2時，由 知x1＜x2＜1，所以 的解為x＞1，

綜上所述，

當a≤﹣6時，不等式組的解集為 ，

當a＞﹣6時，不等式組的解集為（1，+∞）

【解析】（1）把問題轉化為一元二次方程的問題，利用方程的根建立二次一次方程組，求得a和b的值．（2）把不等式整理成x2+2x﹣2＞b2﹣4b確定等號左邊的最小值，進而確定等號右邊的范圍求得b的范圍．（3）對判別式△大于0和小于0進行分類討論，通過解不等式求得解集．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的性質(當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減)．