Question

【題目】以橢圓：的中心為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準圓”.設橢圓的左頂點為，左焦點為，上頂點為，且滿足，.

（1）求橢圓及其“準圓”的方程；

（2）若橢圓的“準圓”的一條弦（不與坐標軸垂直）與橢圓交于、兩點，試證明：當時，試問弦的長是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為；橢圓的“準圓”方程為；（2）弦的長為定值．

【解析】

試題分析：（1）求方程，關鍵是求，只要把兩個已知條件轉化為的方程即可，由得，由得，聯立后可得結論；（2）這是定值問題，解題時設直線的方程為，且與橢圓的交點，把直線方程與橢圓方程聯立并消元后得關于的一元二次方程，可得，計算，由＝0，可得的關系式，問題是弦長為定值，由于弦是定圓中的弦，因此只要求得圓心到直線的距離，如果為定值，則弦長也為定值．

試題解析：（1）設橢圓的左焦點，由得，又，即且，所以，

則橢圓的方程為；橢圓的“準圓”方程為.

（2）設直線的方程為，且與橢圓的交點，

聯列方程組 代入消元得：

由

可得由得即，所以

此時成立，

則原點到弦的距離,

得原點到弦的距離為，則，

故弦的長為定值.