Question

【題目】已知函數的最小正周期為，將的圖像向右平移個單位長度后得到函數，的圖像關于軸對稱，且.

（1）求函數的解析式；

（2）設函數，若函數的圖像在上恰有2個最高點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據給出的周期，可求出ω的值；由f（x）的圖象向右平移個單位長度，函數的圖象關于y軸對稱，求出φ的值；由，得A的值即可；

（2）由（1）可得F（x）的解析式，由輔助角公式進行化簡，利用函數圖象分析即可得出結果．

（1）∵函數的最小正周期為π，

∴π，解得ω＝2，

∵g（x）＝f（x）＝Acos[2（x）+φ]＝Acos（2xφ），且g（x）的圖象關于y軸對稱，

∴φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ，k∈Z，

∴由|φ|，可得φ，可得f（x）＝Acos（2x），

∵，即f（）＝Acos[2×（）]＝Acos0＝A＝2，

∴函數f（x）的解析式為．

（2）由（1）知g（x）＝2cos2x；

F（x）＝2cos（2x）+2cos2x＝2（cos2xcossin2xsin）+2cos2x＝3cos2xsin2x，

＝2cos（2x）；

∵x∈[0，aπ]（a＞0）；

∴2x∈[，2aπ]；

∵函數F（x）的圖象在x∈[0，aπ]（a＞0）上恰有2個最高點；

∴結合余弦函數的圖象（如圖示）知，4π≤2πa6π；

故解得a∈

故實數a的取值范圍為．