Question

已知橢圓的左右兩焦點分別為，是橢圓上一點，且在軸上方，．

（1）求橢圓的離心率的取值范圍；
（2）當取最大值時，過的圓的截軸的線段長為6，求橢圓的方程；
（3）在（2）的條件下，過橢圓右準線上任一點引圓的兩條切線，切點分別為．試探究直線是否過定點？若過定點，請求出該定點；否則，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析：（1）由,,.即可求得的取值范圍.
(2)由（1）可得.以及是圓的直徑可得.即可求出橢圓的方程.
（3）由（2）可得圓Q的方程.切點M,N所在的圓的方程上任一點坐標為P（x,y）.由.即得.則M,N所在的直線方程為.兩圓方程對減即可得到.根據過定點的知識即可求出定點.本題涉及的知識點較多，滲透方程的思想，加強對幾何圖形的關系理解.
試題解析： ， ∴，．
(1)，∴,在上單調遞減．
∴時，最小，時，最大，∴，∴．
(2)當時，，∴，∴．
∵,∴是圓的直徑，圓心是的中點，∴在y軸上截得的弦長就是直徑，∴=6．又，∴．∴橢圓方程是    10分
（3）由（2）得到，于是圓心,半徑為3，圓的方程是．橢圓的右準線方程為，,∵直線AM,AN是圓Q的兩條切線，∴切點M,N在以AQ為直徑的圓上．設A點坐標為，∴該圓方程為．∴直線MN是兩圓的公共弦，兩圓方程相減得：，這就是直線MN的方程．該直線化為：
∴直線MN必過定點．                     16分