Question

雙曲線M的中心在原點，并以橢圓的焦點為焦點，以拋物線 的準線為右準線.

（Ⅰ）求雙曲線M的方程；

（Ⅱ）設直線： 與雙曲線M相交于A、B兩點，O是原點.

① 當為何值時，使得?

② 是否存在這樣的實數,使A、B兩點關于直線對稱？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）易知，橢圓的半焦距為：，

又拋物線的準線為：.

設雙曲線M的方程為，依題意有，

故，又.

∴雙曲線M的方程為.

（Ⅱ）設直線與雙曲線M的交點為、兩點

聯立方程組 消去y得  ，

∵、兩點的橫坐標是上述方程的兩個不同實根，

∴

∴，從而有

，.

又，

∴

.

① 若，則有 ，

即 .

∴當時，使得.  

② 若存在實數,使A、B兩點關于直線對稱，則必有 ，

因此，當m=0時，不存在滿足條件的k；

當時，由 得

  

∵A、B中點在直線上，

∴ 代入上式得

；又， ∴

將代入并注意到，得 .

∴當時，存在實數，使A、B兩點關于直線對稱.