Question

雙曲線M的中心在原點(diǎn)，并以橢圓

x2

25

+

y2

13

=1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以拋物線y²=-2

3

x的準(zhǔn)線為右準(zhǔn)線．
（1）求雙曲線M的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+3與雙曲線M相交于A、B兩點(diǎn)，O是原點(diǎn)．求k值，使

OA

•

OB

=0．

Answer 1

分析：（1）由題意可得所求的雙曲線的半焦距 c=2

3

，準(zhǔn)線為：x=

3

2

從而可得

a2

c

=

3

2

，可求雙曲線M的方程
（2）設(shè)直線l與雙曲線M的交點(diǎn)為A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）、聯(lián)立方程組

x2 3 - y2 9 =1  y=kx+3

消去y（k²-3）x²+6kx+18=0，設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）、則k²-3≠0，△=36k²-4（k²-3）×18＞0，解可得，-

6

＜k＜

6

，從而有 x1+x2=-

6k

k2-3

，x1x2=

18

k2-3

，由

OA

•

OB

=0，則有x₁x₂+y₁y₂=0，可求k．

解答：解：（1）由題設(shè)知，橢圓

x2

25

+

y2

13

=1的半焦距為：c=2

3

，…..（1分）
又拋物線y2=-2

3

x的準(zhǔn)線為：x=

3

2

．…..（2分）
設(shè)雙曲線M的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，依題意有

a2

c

=

3

2

，…..（3分）
故a2=

3

2

c=

3

2

•2

3

=3，又b²=c²-a²=12-3=9．…..（4分）
∴雙曲線M的方程為

x2

3

-

y2

9

=1．…..（5分）
（2）設(shè)直線l與雙曲線M的交點(diǎn)為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)
聯(lián)立方程組

x2 3 - y2 9 =1 y=kx+3

消去y得  （k²-3）x²+6k+18=0，…..（7分）
∵A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是上述方程的兩個(gè)不同實(shí)根，
∴k²-3≠0…..（8分）
∴△=（6k）²-4（k²-3）×18＞0? -

6

＜k＜

6

，從而有
x1+x2=-

6k

k2-3

，x1x2=

18

k2-3

．…（9分）
又y₁=kx₁+3，y₂=kx₂+3
∴y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9=

18k2

k2-3

-

18k2

k2-3

+9=9
…..…..（11分）
若

OA

•

OB

=0，則有 x₁x₂+y₁y₂=0，即

18

k2-3

+9=0⇒k²=1⇒k=±1．
∴當(dāng)k=±1時(shí)，使得

OA

•

OB

=0．…..（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由雙曲線的性質(zhì)求解雙曲線的方程及直線與曲線的位置關(guān)系，要求考生具備一定的邏輯推理與計(jì)算的能力，本題具有較大的綜合性．本題的易錯(cuò)點(diǎn)是混淆橢圓、雙曲線、拋物線的性質(zhì)．