Question

f（x）=ax²-2ax+2+b（a＞0），f（x）在[2，3]上最大值是5，最小值是2，若g（x）=f（x）-mx，在[2，4]上是單調函數，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：由題意可得，f（x）在[2，3]增，最大值是5，最小值是2，

f(2)=2+b=2 f(3)=3a+2+b=5

，解得a、b的值，可得g（x）=x²-（m+2）x+2，對稱軸為 x=

m+2

2

．再根據g（x）在[2，4]上是單調函數，可得

m+2

2

≤2，或

m+2

2

≥4，由此求得m的取值范圍．

解答：解：由題意可得，f（x）=ax²-2ax+2+b（a＞0），在[2，3]增，最大值是5，最小值是2，
∴

f(2)=2+b=2 f(3)=3a+2+b=5

，解得 

a=1 b=0

，可得f（x）=x²-2x+2．
故g（x）=x²-（m+2）x+2，對稱軸為 x=

m+2

2

． 
再根據g（x）=f（x）-mx，在[2，4]上是單調函數，可得

m+2

2

≤2，或

m+2

2

≥4．
解得m≤2，或 m≥6，即m的取值范圍為（-∞，2]∪[6，+∞）．

點評：本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值，二次函數的性質的應用，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．