Question

“0＜a≤

1

5

”是“函數f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區間（-∞，4]上的減函數”的

充分不必要

條件．

Answer 1

分析：由于a值不確定，此題要討論，當a=0時，函數為一次函數，當a≠0時，函數為二次函數，此時分兩種情況，當a＞0時，函數開口向上，先減后增，當a＜0時，函數開口向下，先增后減，求出函數f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區間（-∞，4]上的減函數的充要條件再進行判斷即可．

解答：解：（1）當a=0時，函數為一次函數f（x）=-2x+2為遞減函數，
（2）當a＞0時，二次函數開口向上，先減后增，故函數對稱軸x=

1-a

a

≥ 4，
解得0＜a≤

1

5

；
當a＜0時，函數開口向下，先增后減，函數f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區間（-∞，4]上不可能為減函數故舍去．
故函數f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區間（-∞，4]上的減函數的充要條件為0≤a≤

1

5

．
由于0＜a≤

1

5

⇒0≤a≤

1

5

，反之不成立，
故答案是：充分不必要．

點評：此題主要考查二次函數的性質、函數單調性和對稱軸的求解、必要條件、充分條件與充要條件的判斷，屬于基礎題．