Question

關于函數f(x)=4sin(2x+

π

3

)，(x∈R)有下列命題：其中正確的是（　　）
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整數倍；
②f（x）的表達式可改寫為f(x)=4cos(2x-

π

6

)；
③f（x）的圖象關于點(-

π

6

，0)對稱；
④f（x）的圖象關于直線x=

π

3

對稱；
⑤f（x）在區間(-

π

3

，

π

12

)上是增函數．

A．②③⑤

B．①②③

C．②③④

D．①③⑤

Answer 1

分析：利用三角函數的圖象和性質分別判斷．

解答：解：①由f（x₁）=f（x₂）=0，得2x1+

π

3

=kπ，2x2+

π

3

=mπ，所以2x₁-2x₂=（k-m）π，即x1-x2=

(k-m)π

2

，k，m∈Z，所以①錯誤．
②f(x)=4cos(2x-

π

6

)=4cos?(

π

6

-2x)=4sin?[

π

2

-(

π

6

-2x)]=4sin?(2x+

π

3

)，所以②正確．
③因為f(-

π

6

)=4sin?[2(-

π

6

)+

π

3

]=4sin?0=0，所以f（x）的圖象關于點(-

π

6

，0)對稱，所以③正確．
④因為f(

π

3

)=4sin?(2×

π

3

+

π

3

)=4sin?π=0不是函數的最大值，所以f（x）的圖象關于直線x=

π

3

不對稱，所以④不正確．
⑤由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，當k=0時，得-

5π

12

≤x≤

π

6

，
即函數的一個單調增區間為[-

5π

12

，

π

6

]，所以函數f（x）在區間(-

π

3

，

π

12

)上是增函數，所以⑤正確．
故選A．

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質，要求熟練掌握三角函數的性質，綜合性較強．