Question

已知定義在[1，+∞）上的函數(shù)f(x)=

4-|8x-12|(1≤x≤2) 1 2 f( x 2 )(x＞2)

，則（　　）

• A．在[1，6）上，方程f（x）-

  1

  6

  x=0有5個(gè)零點(diǎn)
• B．關(guān)于x的方程f（x）-

  1

  2n

  =0（n∈N^*）有2n+4個(gè)不同的零點(diǎn)
• C．當(dāng)x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的面積為4
• D．對(duì)于實(shí)數(shù)x∈[1，+∞），不等式xf（x）≤6恒成立

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合分別判斷即可．

解答：解：作出函數(shù)f（x）的圖象，如圖：
由函數(shù)表達(dá)式可知f（1.5）=4，f（2.5）=2，f（3.5）=1，f（4.5）=

1

2

，f（5.5）=

1

4

．
A．由f（x）-

1

6

x=0得f（x）=

1

6

x，設(shè)g（x）=

1

6

x，則g（4.5）=

1

6

×

9

2

=

3

4

＞

1

2

，∴在[1，6）上，方程f（x）-

1

6

x=0有6個(gè)零點(diǎn)，∴A錯(cuò)誤．
B．當(dāng)n=0時(shí)，方程f（x）-

1

2n

=0等價(jià)為f（x）=1，此時(shí)f（3.5）=1，∴對(duì)應(yīng)方程根的個(gè)數(shù)為5個(gè)，而2n+4=4個(gè)，∴B錯(cuò)誤．
C．令n=1得，[2^n-1，2ⁿ]=[1，2]，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的圖形是一個(gè)三角形，其面積為：S=

1

2

×1×4=2，∴C錯(cuò)誤．
D．由不等式xf（x）≤6等價(jià)為f（x）≤

6

x

，在x∈[1，+∞）恒成立，作出函數(shù)y=

6

x

的圖象如圖2，則不等式xf（x）≤6恒成立，∴D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．