Question

已知函數f（x）=e^x-ax+b，其中a，b∈R（e為自然對數的底數）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在點（0，f（0））處的切線與直線3x+y-2=0平行，當函數f（x）有兩個不同的零點時，求實數b的取值范圍；
（Ⅲ）若a=1，b=0，在函數f（x）的圖象上取兩定點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂），記直線AB的斜率為k．問：是否存在x₀∈（x₁，x₂），使f'（x₀）＞k成立？若存在，求x₀的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函數f（x）的導函數f′（x），再對a進行分類討論，分別求出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，即求出函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）由導數的幾何意義先求出a的值，由（1）知求出單調區間，進而求出函數的最小值4-4ln4+b，根據函數的單調性和條件得：4-4ln4+b＜0，進而求出b的范圍；
（Ⅲ）先假設存在，再根據斜率公式求出k，構造函數h(x)=f′(x)-k=ex-

ex2-ex1

x2-x1

，觀察得此函數的導函數以及區間（x₁，x₂），無法判斷其單調性，故直接表示出h（x₁）和h（x₂）并化簡，根據結構特點再構造函數F（t）=e^t-t-1，再導數進而判斷出單調性，再根據t的范圍判斷出h（x₁）＜0，h（x₂）＞0，再得c∈（x₁，x₂）使h（c）=0，求出c=ln

ex2-ex1

x2-x1

，再由h′（x）=e^x＞0，得x∈(ln

ex2-ex1

x2-x1

，x2)有f'（x₀）＞k．

解答：解：（Ⅰ）由題意得f′（x）=e^x-a…（1分）
當a≤0時，f′（x）＞0，函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增；…（2分）
當a＞0時，由f′（x）=e^x-a=0，得x=lna，
則 x∈（-∞，lna），f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
   x∈（lna，+∞），f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；…（4分）
（Ⅱ）由f'（0）=e⁰-a=-3，得a=4…（6分）
由（1）知函數f（x）=e^x-4x+b在（-∞，ln4）上單調遞減；（ln4，+∞）單調遞增，
函數f（x）=e^x-4x+b在x=ln4處取極小值（即為最小值）4-4ln4+b…（8分）
且當x→-∞或x→+∞時，f（x）→+∞，
∴4-4ln4+b＜0，解得b＜4ln4-4，
故使函數f（x）有兩個零點的b的取值范圍b＜4ln4-4…（10分）
（Ⅲ）假設存在存在x₀∈（x₁，x₂）滿足條件，
由題意知，k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

ex2-ex1

x2-x1

-1，
令h(x)=f′(x)-k=ex-

ex2-ex1

x2-x1

，
則 h(x1)=-

ex1

x2-x1

[e(x2-x1)-(x2-x1)-1]，h(x2)=

ex2

x2-x1

[e(x1-x2)-(x1-x2)-1]，
令F（t）=e^t-t-1，則F'（t）=e^t-1．
當t＜0時，F'（t）＜0，F（t）單調遞減；當t＞0時，F'（t）＞0，F（t）單調遞增，
故當t=0，F（t）＞F（0）=0，即e^t-t-1＞0，
從而e(x2-x1)-(x2-x1)-1＞0，e(x1-x2)-(x1-x2)-1＞0，
又∵

ex1

x2-x1

＞0，

ex2

x2-x1

＞0
∴h（x₁）＜0，h（x₂）＞0．…（12分）
∴存在c∈（x₁，x₂）使h（c）=0
∵h′（x）=e^x＞0，h（x）是單調遞增，
故這樣的c是唯一的，且c=ln

ex2-ex1

x2-x1

…（14分）
故當且僅當x∈(ln

ex2-ex1

x2-x1

，x2)時，f'（x₀）＞k．
綜上所述，存在x₀∈（x₁，x₂）使f'（x₀）＞k成立．
且x₀的取值范圍為(ln

ex2-ex1

x2-x1

，x2)．

點評：本題考查了利用導數研究函數的綜合問題，導數與函數的單調性、函數的切線和函數的零點等等，其中根據條件進行構造函數和對問題進行正確轉化是本題最難之處．