Question

【題目】已知橢圓的左焦點為，左頂點為，離心率為，點 滿足條件.

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）設過點的直線與橢圓交于兩點，記和的面積分別為，證明： .

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出， 利用求的值；
（Ⅱ）方法一：分類討論，設出直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理證明，求出面積，即可得出結論；

方法二：依題意可設直線的方程為： ，代入橢圓方程，利用韋達定理證明，求出面積，即可得出結論；

試題解析：（Ⅰ）橢圓的標準方程為：

∴，

則，

∵，解得

（Ⅱ）方法一：

①若直線的斜率不存在，則， ，符合題意

②若直線的斜率存在，因為左焦點，則可設直線的方程為： ，

并設.

聯立方程組，消去得：

∴,

∵

∴

∵，

∴

方法二：依題意可設直線的方程為： ，并設.—5分

聯立方程組，消去，得

∴,

∵

∴

∵，

∴