Question

（本小題滿分12分）已知直線所經過的定點恰好是橢圓的一個焦點,且橢圓上的點到點的最大距離為3.
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）已知圓,直線.試證明：當點在橢圓上運動時，直線與圓恒相交，并求直線被圓所截得弦長的取值范圍.
（Ⅲ）設直線與橢圓交于兩點，若直線交軸于點，且，當變化時，求 的值；   

Answer 1

（1）（2）（3）

（Ⅰ）由得，所以直線過定點（1，0），即.  
設橢圓的方程為,
則,解得，所以橢圓的方程為.  …………3分
（Ⅱ）因為點在橢圓上運動,所以，     
從而圓心到直線的距離

所以直線與圓恒相交.                            ……………………5分
又直線被圓截得的弦長
，       …………6分
由于,所以,則,
即直線被圓截得的弦長的取值范圍是.  …………………7分
（3）設


                             …………………………9分
又由 
        同理 ………………………………11分
     ………………………12分