Question

【題目】已知橢圓Γ： + =1（a＞b＞0）的離心率與雙曲線x2﹣y2=a2的離心率之和為 ，B1、B2為橢圓Γ短軸的兩個端點，P是橢圓Γ上一動點（不與B1、B2重合），直線B1P、B2P分別交直線l：y=4于M、N兩點，△B1B2P的面積記為S1 ， △PMN的面積記為S2 ， 且S1的最大值為4 ．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）若S2=λS1 ， 當λ取最小值時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：雙曲線的離心率為 ，∴橢圓的離心率為 ，

∴ ，解得a=2 ，b=2，

∴橢圓方程為 ．

（2）

解：）設P（2 cosα，2sinα）（0≤α＜2π且α ，α≠ ），B1（0，2），B（0，﹣2），

則直線B1P的方程為y= x+2，直線B2P的方程為y= x﹣2，

∴M（ ，4），N（ ，4），

|MN|=| ﹣ |=| |，

∴S2= ×|MN|×（4﹣2sinα）= ，又S1= =4 |cosα|，

∴λ= = =（ ）2，

令f（α）= ，則f′（α）= ，

令f′（α）=0得α= 或α= ，

當0 時，f′（α）＜0，當 時，f′（α）＞0，當 時，f′（α）＞0，

當 時，f′（α）＜0，當 時，f′（α）＜0，

∴f（α）在[0， ]上單調遞減，在（ ， ）上單調遞增，在（ ， ]上單調遞增，在（ ， ）上單調遞減，在（ ，2π）上單調遞減，

∴當 時，f（α）取得極小值f（ ）= = ，當α= 時，f（α）取得極大值f（ ）= =﹣ ，

∴當α= 或 時，|f（α）|取得最小值 ，

∴λ=f2（α）的最小值為 ．

∴當λ取得最小值時，P點坐標為（ ，1）或（﹣ ，1）．

【解析】（1）根據橢圓的離心率，S1的面積列方程組，解出a，b即可得出橢圓方程；（2）設P（2 cosα，2sinα），分別求出直線方程，得出M，N的坐標，用α表示出S1 ， S2 ， 從而得到λ關于α的函數，利用導數判斷此函數的單調性，得出λ的最小值及其對應的α，從而得出P點坐標．