Question

【題目】設(shè)直線(xiàn)l：y＝2x＋2，若l與橢圓 的交點(diǎn)為A，B，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則使△PAB的面積為 的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為(　　)

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Answer 1

【答案】D

【解析】

由直線(xiàn)l的方程與橢圓x2+=1的方程組成方程組，求出弦長(zhǎng)AB，計(jì)算AB邊上的高h，

設(shè)出P的坐標(biāo)，由點(diǎn)P到直線(xiàn)y=2x+2的距離d=h，結(jié)合橢圓的方程，求出點(diǎn)P的個(gè)數(shù)來(lái)．

由直線(xiàn)l的方程與橢圓x2+=1的方程組成方程組，

解得或，

則A（0，2），B（﹣1，0），

∴AB==，

∵△PAB的面積為﹣1，

∴AB邊上的高為h==．

設(shè)P的坐標(biāo)為（a，b），代入橢圓方程得：a2+=1，

P到直線(xiàn)y=2x+2的距離d==，

即2a﹣b=2﹣4或2a﹣b=﹣2；

聯(lián)立得：①或②，

①中的b消去得：2a2﹣2（﹣2）a+5﹣4=0，

∵△=4（﹣2）2﹣4×2×（5﹣4）＞0，∴a有兩個(gè)不相等的根，∴滿(mǎn)足題意的P的坐標(biāo)有2個(gè)；

由②消去b得：2a2+2a+1=0，

∵△=（2）2﹣4×2×1=0，∴a有兩個(gè)相等的根，滿(mǎn)足題意的P的坐標(biāo)有1個(gè)．

綜上，使△PAB面積為﹣1的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為3．

故選：D．