Question

設函數 
(1)當時，求函數的最大值；
(2)令（）其圖象上任意一點處切線的斜率≤ 恒成立，求實數的取值范圍；
(3)當，，方程有唯一實數解，求正數的值．

Answer 1

(1);(2); (3)

試題分析：（1）利用導數分析函數的單調性，然后由單調性確定函數的最值；（2）先由導函數求出點P處的切線斜率，然后由恒成立條件，轉化為求k的最大值，從而求出實數的取值范圍；（3）構建函數模型，利用函數的增減性，分析出方程有唯一解，即函數有唯一零點的情況，從而得出正數m的值.
試題解析：（1）依題意，知f（x）的定義域為（0，+∞），
當，，
令， 解得x=1，（∵x＞0），
當時，，此時f（x）單調遞增，
當x＞1時，，此時f（x）單調遞減，
所以f（x）的極大值為，此即為最大值.
（2），則有上恒成立，
所以，當取得最大值，所以.
（3）因為方程有唯一實數解，所以有唯一實數解，
設，則，令，
因為，
當上單調遞減；
當上單調遞增；
當，
則，所以，
因為m＞0，所以，（*）
設函數，因為當x＞0時，h（x）是增函數，所以h（x）=0至多有一解，
因為h（1）=0，所以方程（*）的解為,即，解得.