Question

已知雙曲線x²-=1,雙曲線存在關于直線l:y=kx+4的對稱點,求實數k的取值范圍.

Answer 1

k的取值范圍是(,+∞)∪(-∞,-)∪(-,0)∪(0, ).

當k=0時,顯然不成立.
∴當k≠0時,由l⊥AB,可設直線AB的方程為y=-x+b,代入3x²-y²=3中,得(3k²-1)x²+2kbx-(b²+3)k²=0.
顯然3k²-1≠0,∴Δ=(2kb)²-4(3k²-1)［-(b²+3)k²］>0,即k²b²+3k²-1>0.                  ①
由根與系數的關系,得中點M(x₀,y₀)的坐標

∵M(x₀,y₀)在直線l上,
∴=+4,即k²b=3k²-1.                                           ②
把②代入①得k²b²+k²b>0,解得b>0,或b<-1.
∴>0或<-1,
即|k|>或|k|<,且k≠0.
∴k的取值范圍是(,+∞)∪(-∞,-)∪(-,0)∪(0, ).